──ポッカリ空いた大きな穴についての考察──
[Part 5］
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■ガウスの曲率
さて、ここで先に提示した〝曲率〟の問題を改めて持ち出さなければなりません。なぜなら、〝ベルトラミーの擬球〟こそ、非ユークリッド幾何学の〝曲率〟の問題が前提になっており、そこから導き出された結果であるからです。
タルホは、〝曲率とはまがりかたと云うほどの意味である〟と言っていますが、ここではもう少し詳しく曲率について見ていくことにしましょう。
梶島二郎の『非ゆうくりっど幾何学』は、曲率を次のように説明しています。
ベルトラミーの表示法を説明するためには、此点を尚委しく調べて見る必要がある。平面上と同じ様に、或表面の上を其面に沿うて、図形を自由に移動させることの出来るのは、其の種類の表面に限て、特に移動のために値の変らない、或特有なる数がなければならない。其数は、ガウスが初めて見出したもので普通Kで表わし、Kを表面の曲率（Curvature of Surface）と云う。
平面曲線上の或一点Mに於ける其曲線の曲率は、其点を通り、曲線に内切触する円の半径の逆数であることを知て居る。それに基て、表面上の或点Mに於ける表面の曲率が定義される。（『非ゆうくりっど幾何学』、p.190）
ここで、ガウスが初めて見出したという〝表面の曲率K〟というのが出てきます。「宇宙論入門」にロバチェフスキーの名前が最初に登場したとき、〝ここにきわめて風変りな曲率を持った空間がある。この種の空間はドイツの大数学者ガウスによって初めて発見の端緒がにぎられ…〟といって、ガウスの名前が同時に出てきたのは、曲率の問題はガウスと切り離せないからです。しかも、ここで問題になる曲率は、"Curvature of Surface"とあるように、平面上に描かれた線ではなく、あくまでも〝表面（曲面）〟を前提にした2次元的な曲率なのです。
したがって、その前にまず、よく知られている〝平面上〟に描かれた曲線における曲率の話をしているわけです。
すなわち、平面上において、ある曲線上の一点Mにおける曲率は、Mでこの曲線に〝内切触〟する円の半径（r）の逆数で表わされる、というものです。〝内切触〟というのは見慣れない言葉ですが、〝内接触〟のことでしょうか。ここでは、その曲線のカーヴに〝最も近似する円〟というような意味だろうと思います。つまり、
曲率＝1/r
という式で表されます。このrは一般に〝曲率半径〟と呼ばれていますが、曲率の値は、曲率半径rの値が大きくなるほど、小さくなっていくことはお分かりでしょう。逆に、曲率半径の値が小さくなるほど、曲率は大きくなります。
すなわち、曲率半径が大きくなるほど、曲率（曲線の曲がり具合）は緩やかになり、曲率半径が小さくなるほど、曲線の曲がり具合は急になる、ということになります。
次に〝表面〟における曲率の話に移ります。
表面上の点Pを通る表面の法線をnとし、nを含む多くの平面を作れば、其等の平面と表面との交線は一般にPを通る曲線である。其等の曲線の中、Pに於ける曲率が極大及極小なるものは互に直角に交り、其等二つの曲率をP点に於ける表面の主曲率（Principal Curvature）と云う。主曲率の積が、ガウスの求めた表面の曲率Kであって、主曲率に応ずる二つの曲線の向き（Sense）が同じときには、Kを正数とし、向きが反対のときには負数とする。故に、曲率が一定なる表面を大別して、Kが正数なるもの、零なるもの、負数なるものと区別することが出来る。
K＝0なる表面の主なるものは平面であるが、又拡げて平面になるものは総て此部類に属する。円筒面は其一例である。
K＞0なる表面の基準となるものは球面であって、半径をkとすれば、球面の曲率は 1/k2に等しい。
楕円的平面三角法は屡々繰返して述べた通り、球面三角法と同じであるから、楕円平面はユークリッド空間に於ては、K＞0なる表面に相応するものと云うことが出来る。
K＜0なる表面は、次に述べるベルトラミーの擬球面（Pseudosphere）が其一例である。（同上、p.190～191）
ガウスの〝表面の曲率K〟について、このように説明しています。ここに〝主曲率（Principal Curvature）〟という言葉が出てきます。表面（曲面）上の点Pにおいて、曲率が極大および極小なる2つの曲線は互いに直角に交り、これら2つの曲線の曲率をP点における表面の〝主曲率〟という、と述べています。そして極大と極小の2つの〝主曲率の積〟が、ガウスの表面の曲率Kである、と言っているのです。ここが非常に大事な点だと思います。
ガウスの曲率は、2つの主曲率の積なのです。つまり、2つの主曲率をk1、k2とすると、ガウスの曲率Kは、
K＝k1×k2
で表されるわけです。すなわち、
（1）2つの主曲率k1、k2が共に正数（プラス）なら、
（＋）k1×（＋）k2＝（＋）K
すなわち、K＞0
（2）2つの主曲率のうち、一方が0のときは、
0×（＋）k2＝0 （片方の主曲率がマイナスでも、0×（－）k2＝0）
すなわち、K＝0
（3）2つの主曲率のうち、一方が負数（マイナス）なら、
（－）k1×（＋）k2＝（－）K
すなわち、K＜0
以上のように、3つに分類することができる、と言っているのです。
（1）〝球面〟や〝玉子の表面〟のような凸面の主曲率は、どちらもプラスですから、K＞0となります。
では、先に疑問を呈したように、ボールを切断したり、玉子の殻を割ったりした、その裏面（凹面）はK＜0となるのではないか、という問題についてはどうでしょうか。
マイナスとマイナスの積はプラスですから、やはりK＞0となるのです。
（2）平面は2つの主曲率が共に0ですから、その積は、もちろんK＝0です。
円筒形は、円周方向の主曲率はプラスですが、もう一方の主曲率は0ですから、その積は、やはりK＝0です。
円錐形も、円周方向の主曲率はプラスですが、頂点方向の主曲率は0ですから、やはりK＝0です。
（3）ここにKの値がマイナスとなる曲率を持つ曲面──それこそが〝ベルトラミーの擬球〟なわけです。
つまり、この3種の曲率に対応するのが、先に挙げた3種の幾何学、すなわち、
1. K＞0 楕円的幾何学 → リーマンの幾何学
2. K＝0 抛物線的幾何学 → ユークリッドの幾何学
3. K＜0 双曲線的幾何学 → ロバチェフスキー／ボリアイの幾何学
ということになります。
要は、表面の曲率Kが正（プラス）である、負（マイナス）である、というとき、単純にカーヴ（曲がり方）が逆であるということではなく、〝2つの主曲率の積〟がプラスかマイナスか、という意味であることを理解しておく必要があるのです。
■鞍状面
「改訂増補 ロバチェフスキー空間を旋りて」には、戦時中から始めていた「宇宙論入門」の執筆は、戦後（昭和21年12月）になって、鷺ノ宮で上田光雄が主宰する〝ロゴス大学〟に、〝天文学部主任〟として身柄を拾われ、そこの建物の2階で、その続きに取りかかった、とあります。その折、上田がガモフ博士の著書『不思議の国のトムキンス』を貸してくれた、と述べています。ジョージ・ガモフ（1904－1968）は、ロシア生まれの米国の物理学者です。
今日まで、どの本をあけても、「カーヴが背反している」「正負の曲率をそなえている」とあるだけで、何とも釈然としなかった消息が、ガモフ博士の率直な言い方と、一種飄逸の趣きがある自筆の挿絵によって、いっぺんに氷解した。
「ロバチェフスキー面」とは、何のことでもない、両側に山をひかえた峠なのである。（中略）
ガモフ博士の絵解きにもとづいて、負数空間の箇所を訂正、『宇宙論入門』の原稿は印刷に廻されることになった。（「改訂増補ロバチェフスキー空間を旋りて」、全集5、p.104～107）
このように、〝ロバチェフスキー面〟が〝両側に山をひかえた峠〟の形状で表されること、すなわち〝鞍状面〟という概念を、ガモフ博士の『不思議の国のトムキンス』によって教えられたと述べています。
「カーヴが背反している」という表現は、そのままロバチェフスキー面すなわち〝鞍状面〟を指しており、「正負の曲率をそなえている」というのも、先の〝ガウスの曲率K〟の2つの主曲率がプラスとマイナスの値を持っている、ということで、やはりこれも〝鞍状面〟のことを指しているわけで、どちらも正しい表現なわけです。
「宇宙論入門」には、〝ガウスの曲率K〟のことが一度も出てきません。タルホが釈然としなかったのは、ひょっとして『非ゆうくりっど幾何学』のその部分の説明を素通りしてしまったからではないかと思われます（※）。
※ タルホの名誉のために、〝ガウスの曲率K〟については、のちにきちんと取り上げられていることを記しておきます。「カフェの開く途端に月が昇った」（「未来派へのアプローチ」の増補改訂版）の冒頭に置かれた「緒言」の中で、次のように正確に述べています。
「ある点における曲率はどのようにして測定されるのか。まずその点で交わり、この曲面のその点における「主方向」と呼ばれる二方向に延びている二本の測地線の曲率が測定される。一つの方向は測地線の最大曲率を与え、他の方向は最小曲率を与える。次に、二本の測地線の二つの逆数の積として定義がなされる。ロバチェフスキー的「鞍状空間」について言うならば、峠の中心C点を過ぎる弧は凸状に彎曲している。これと直角に走っている測地線は凹状である。この二本の測地線が、C点における最大曲率と最小曲率とを示している。鞍状面を内側（内部）から眺めると、凹凸はあべこべになっているが、曲面を外側から見るのと内側から見るのとは問題でない。只約束によって、一方を正、他方を負と呼ぶ。これら二つの半径の逆数の積、1/R1R2は、鞍状面における曲率測度を与える。鞍状面のどの点でも、一方は正、他方は負。故にこの種の曲面の曲率測度は常にマイナスでなければならない。」（「カフェの開く途端に月が昇った」、全集5、p.166～167）
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余談ですが、ガモフ博士の『不思議の国のトムキンス』の訳書は、1942（昭和17）年に出版された小さな本ですが、すでに戦時中だったにもかかわらず、表紙に模様が〝空押し〟加工され、その上にオレンジ色のインクが載っており、かなり装飾性をもった装丁になっていることに驚かされます。
『不思議の国のトムキンス』は、銀行員のトムキンス氏と大学教授との問答によって、相対性理論や量子論の話が進められていく内容になっていますが、所々に著者自身によるイラストが差し挟まれているのがアクセントになっています。
教授は〝鞍状面〟の説明をする前に、地球儀を例に出し、その表面が〝正の曲率〟を持っていることを説明します。もしそれが平面上であれば、そこに円を描いてその半径を2倍にすれば、円の面積は4倍になるが、地球儀の表面では、半径を2倍にしても、面積は2倍にしかならないと言います。なぜなら、北極を基点に、子午線の半分を半径としてぐるり円を描くと、それは赤道を示し、円内の面積は北半球の球面となる。そして半径を2倍にすると、南半球を含めた地球儀全体の面積となる。つまり面積は2倍にしかならない、と教授は解説します。このように、球面上では、円の半径を増やしていっても、平面の場合に比べて、その面積の増え方が緩やかである、と言うのです。
次に教授は、〝負の曲率〟を持った表面の例を挙げます。それは〝鞍〟の形、すなわち〝二つの山に挟まれた峠道〟によって与えられると言います。そこでは詳しく述べられていませんが、この〝負の曲率〟が、ガウス曲率のK＜0を指していることは言うまでもありません。そして、負の曲率を持った鞍状面上に円を描くと、平面に比べると、半径を増すにつれて面積の増え方が大きくなる、と説明します。
ガモフ博士に教えられたという、この〝鞍状面〟について、「宇宙論入門」はどのように記しているでしょうか。
リーマンの空間では、その曲率が一方にのみついている。ユークリッド空間では曲率がゼロになっている。ところでロバチェフスキー空間では、曲率が互いにあべこべ側についている。麻布飯倉町一丁目の都電の分岐点が、ちょうどそんな双曲線的面の模型になっている。というのは、あそこの交叉した坂道の傾斜が互い違いになっているからだ。われわれの手の指のあいだが同様な、互いに逆な曲面からできている。それよりも、鞍形になった山間を持ってくればよかろう。山間の峠でもよい。曲面の頂上であり、同時に曲面の底にもあたるこんな箇所の小屋番人が、周囲の斜面に一様に正しく移植されている杉の苗をかぞえてみるならば、苗木の数が、中心からの距離の自乗をこえたわり合で増えていることを知るであろう。（「宇宙論入門」、全集5、p.377～378）
このように述べて、『不思議の国のトムキンス』で例に挙げられた〝松の木〟を〝杉の苗〟に置き換え、原著にある〝峠道にある山小屋〟の図もリライトして示しながら説明しています。
例の〝麻布飯倉町一丁目の都電の分岐点（※）〟のことも、ここに初めて登場します。この発見はタルホにとってよほどうれしかったのでしょう、その後何度も持ち出されることになります。ここでは〝ロバチェフスキー空間〟〝双曲線的面〟といったように、3次元的・2次元的用語が混在していますが、要は〝鞍状面〟においては、平面におけるより、円の半径を増すにしたがって、面積の増し方が大きくなる、つまり一定の間隔で植えられた松の木（杉の苗）の数がより多く増えていく、と言っているのです。
平面であれば、円の面積はπr2（3.14×半径の2乗）で表されますから、半径の2乗に比例して面積が増えていきます。半径が2倍になれば面積は22（4）倍、半径が3倍になれば面積は32（9）倍、半径が4倍になれば面積は42（16）倍、……というように増えていきます。ところが〝鞍状面〟においては、これよりも急な割合で増えていく、というわけです。
この〝鞍状面〟の話は、「宇宙論入門」では〝ベルトラミーの擬球〟の話の前に置かれています。タルホはそのことに言及していませんが、実は、〝ベルトラミーの擬球〟こそ、その表面上のどの点においても、〝鞍状面〟になっているのです。
※ 「改訂増補 ロバチェフスキー空間を旋りて」（全集5、p.98）には、〝私は明石に帰省中、竹内時男博士の『物理学夜話』で「飯倉一丁目の路面は、マイナスの符号が付いている面の模型である」と、知らされていたのである。〟とありますが、これはタルホの思い違いのようです。『物理学夜話』（昭和2年、大鐙閣）は国立国会図書館のデジタルコレクション（https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1146212）で見ることができますが、そういう記述は見当たりません。なお、同書は昭和9年に『新物理学夜話』（東学社）として改訂版が出ていますが、内容はほぼ同じで、やはり該当箇所は見当たりません。
【補足】
全集版「宇宙論入門」のp.379には、3つの図版が載せられています。これは、上から〝正の曲率〟を持った曲面、〝曲率がゼロ〟の平面、〝負の曲率〟を持った曲面、の3つを示しているのだと思われますが、いちばん下の図が気になります。ベレー帽をつぶしたような、あるいはパン生地を伸ばしたような奇妙な図になっています。これを〝鞍状面〟と見るのはなかなか難しいのではないでしょうか。当時は、ガモフの〝山あいの峠道〟の図はあっても、〝鞍状面〟を簡略に表した適当な参考図がなかったからでしょう。
■［Part 3～5］のまとめ
これまで「宇宙論入門」に沿って、リーマンの幾何学、およびロバチェフスキー／ボリアイの幾何学について見てきました。タルホは、〝ロバチェフスキー的面〟とか〝ロバチェフスキー空間〟とか〝リーマン世界〟といった、2次元的・3次元的用語を混在させて使用しており、しかも、幾何学（数学）と宇宙論（物理学）とを区別しないで話を進める傾向があります。したがって、タルホの直観だけに寄り添って内容を理解しようとすると、どうしても曖昧さが残ってしまいます。そうした曖昧さをできるだけ回避するために、ここまで、物理学的内容（宇宙論）にはあえて立ち入らず、あくまでも2次元の平面や曲面上についての幾何学に限定して理解しようと努めてきました。
ここまでを整理してみると、次のようになります。
表面の幾何学には曲率Kというものがあり、
K＞0 楕円的幾何学 → リーマンの幾何学（球面、玉子の表面）
K＝0 抛物線的幾何学 → ユークリッドの幾何学（平面、円筒形、円錐形など）
K＜0 双曲線的幾何学 → ロバチェフスキー／ボリアイの幾何学（ベルトラミーの擬球面、鞍状面）
以上の3つに整理できることが分かりました。
次の［Part 6］からは、話を2次元表面から3次元空間に広げていくことにしましょう。
※ これまでの話をビジュアルにまとめたものに、以下のサイトがあります。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kohno/lectures/2016fukan2.pdf
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【附録】
■鞍状面では平行線が2本引ける実験
鞍状面は、負の曲率を持ったロバチェフスキー幾何学のモデルの一つですから、ユークリッド幾何学と違って、平行線を2本引くことができます。筆者が紙を使って作ったものをご紹介しましょう。
① コピー用紙を1枚、縦横に4つ折りにします。
② 折り目が交差した箇所（中心）を数ミリだけ残して、横（または縦）の折り目に沿って切り込みを入れます（中央の数ミリだけでかろうじてつながった上下2つの紙になります）。
③ 下側の紙に、切り込み線と平行に直線aを1本書き込みます。
④ 真ん中の折り目の箇所を基点に、上側の紙を右に（30度ぐらい）傾けます。
⑤ すると左側に三角の形に隙間ができるので、その隙間を別の紙にのりをつけて塞ぎます。ただし、全部貼り合わせないで、とりあえず上下どちらか一方だけにしておきます（傾けた右側は紙が重なった状態で、のりはついていません）。
⑥ この状態（真ん中の折り目を中心に、上側の紙が右に30度ぐらい傾いた状態）で、上側の紙の折り目上に任意の点Pの印を付けます。
⑦ Pを通って、先ほど下側の紙に書き込んだ直線aと平行な直線を引きます（隙間を塞いだ左側の紙の上にも直線を延ばします）。
⑧ 今度は、④と反対に、真ん中の折り目の箇所を基点に、上側の紙を左に（30度ぐらい）傾けます。
⑨ あとは⑤～⑦と同様に、Pを通ってaと平行な線を引きます。
⑩ 最後に、先ほど貼り残していた隙間の紙を、左側・右側とも30度ぐらいに広げたまま、貼り合わせます。すると紙全体は歪んだ〝鞍状面〟になります。そして、この鞍状面の点Pを通って、直線aと平行な直線が2本引かれていることが分かります。
鞍状面では直線が曲線に見えますが、2点間の最短距離を結んだ線（直線）であることは間違いありません。
※ これと同様の内容について述べている記事を、ネット上から2つ紹介します。
https://note.com/sgk2005/n/nc9366a786694
http://pi.math.cornell.edu/~dwh/books/eg00/00EG-05/
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